Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе,разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть заданный прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, где a > b, а медиана, проведенная к гипотенузе, равна c. Требуется доказать, что площади образовавшихся треугольников равны.

Проведем медиану треугольника к гипотенузе. По свойству медианы, она делит треугольник на два треугольника равной площади. Обозначим точку их пересечения как M.

Рассмотрим треугольник AMC. Он является прямоугольным, так как угол ACM равен углу CAM и они оба равны углу B. При этом AM равно половине гипотенузы c/2, а база MC равна b. Следовательно, площадь треугольника AMC равна (c/2 * b)/2 = bc/4.

Аналогично, рассмотрим треугольник CMB. Он также является прямоугольным, так как угол CBM равен углу C, а угол BCM равен углу A. При этом BM равно половине гипотенузы c/2, а база CM равна a. Следовательно, площадь треугольника CMB равна (c/2 * a)/2 = ac/4.

Таким образом, площади треугольников AMC и CMB равны, что и требовалось доказать.