Дано: треугольник АВС, АВ= АС= 15 см. Периметр треугольника АВС= 48 см, М, N, D- точки касания сторон и вписанной окружности. Найдите: а) длины отрезков ВМ и АМ, б) радиус вписанной окружности.
Так как MN, MD и ND являются касательными к окружности, проведем перпендикуляры из точек M, N и D к стороне AC треугольника ABC. Обозначим точку пересечения перпендикуляра из точки M с AC через К, длину AK через у, то BC - у = AC (так как AK и KN - линии к сторонам треугольника, параллельным сторонам треугольника ABC). Получаем AK = 15 - y и AB = 30 - y.
Из теоремы Пифагора для треугольника АВМ получаем, что AM^2 = AB^2 - BM^ AM^2 = (30 - y)^2 - x^2
Из теоремы Пифагора для треугольника АМD получаем, что AD^2 = AM^2 + x^2
Так как AD = AM + 15, то (AM + 15)^2 = (30 - y)^2 - x^2 + x^ (AM + 15)^2 = (30 - y)^ AM + 15 = 30 - AM = 15 - y
Из условия периметра треугольника ABC AB + BC + AC = 4 30 - y + y + 15 = 4 45 = 4 3 = 0
Получаем, что у нас ошибка в предположении, что равны MN, MD и ND. Поэтому необходимо внести корректировку и попробовать решить данную задачу с новым распределением значений.
б) Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон 48 = AB + AC + B 48 = 30 + 2*1 48 = 60
Таким образом, данное утверждение также содержит ошибку, следовательно, необходимо перерассмотреть условие и решить его правильно.
а) Пусть MN = MD = ND = х.
Так как MN, MD и ND являются касательными к окружности, проведем перпендикуляры из точек M, N и D к стороне AC треугольника ABC. Обозначим точку пересечения перпендикуляра из точки M с AC через К, длину AK через у, то BC - у = AC (так как AK и KN - линии к сторонам треугольника, параллельным сторонам треугольника ABC). Получаем AK = 15 - y и AB = 30 - y.
Из теоремы Пифагора для треугольника АВМ получаем, что
AM^2 = AB^2 - BM^
AM^2 = (30 - y)^2 - x^2
Из теоремы Пифагора для треугольника АМD получаем, что
AD^2 = AM^2 + x^2
Так как AD = AM + 15, то
(AM + 15)^2 = (30 - y)^2 - x^2 + x^
(AM + 15)^2 = (30 - y)^
AM + 15 = 30 -
AM = 15 - y
Из условия периметра треугольника ABC
AB + BC + AC = 4
30 - y + y + 15 = 4
45 = 4
3 = 0
Получаем, что у нас ошибка в предположении, что равны MN, MD и ND. Поэтому необходимо внести корректировку и попробовать решить данную задачу с новым распределением значений.
б) Периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон
48 = AB + AC + B
48 = 30 + 2*1
48 = 60
Таким образом, данное утверждение также содержит ошибку, следовательно, необходимо перерассмотреть условие и решить его правильно.