В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) тангенс угла ВАС равен 0,75, К - точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Найдите площадь треугольника АВС, если АК=b.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через h высоту треугольника АВС, проведенную из вершины А. Так как угол ВАК является прямым, то у нас есть прямоугольный треугольник АКА', где А' - точка касания вписанной окружности со стороной АВ.

Так как тангенс угла ВАС равен 0,75, то tg(Угол А) = h/b = 0,75.

Из подобия треугольников АКА' и АВС, получаем, что h/b = r/(b-r), где r - радиус вписанной окружности.

Так как AC = 2r, то b = 2r. Подставим этот результат в уравнение h/b = r/(b-r) и получим h/2r = r/(2r - r), h/2r = r/r, h = 2r.

Теперь найдем площадь треугольника АВС. S = (AB h)/2 = (b2r)/2 = 2r^2.

Исходя из условия b = 2r, получаем S = 2r^2 * 2 = 4r^2.

Ответ: площадь треугольника АВС равна 4r^2.