В тетраэдре ABCD точки М, К и Р— середины ребер AD, BD и DC. Докажите, что плоскость МКР параллельна плоскости ABС, и найдите площадь треугольника AВС, если площадь треугольника МКР равна 48 см2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку точки М, К и Р являются серединами ребер AD, BD и DC, то отрезки AM и MC, BM и KC, CD и DR равны попарно. Таким образом, треугольники AMK и CDR равны и подобны (так как AM = MC, AK = KB, CR = RD).

Из равенства площадей треугольников AMK и CDR следует, что их высоты равны (так как базы также равны), и следовательно, плоскости AMK и CDR параллельны.

Так как отрезок AB параллелен отрезку CD и проходит через точки пересечения диагоналей, то плоскости AMK и CDR также параллельны плоскости ABC.

Итак, плоскость MKR параллельна плоскости ABC.

Теперь мы знаем, что площадь треугольника MKR равна 48 см². Так как треугольники MKR и ADC подобны с коэффициентом 1:2 (по пропорции сторон), отсюда следует, что площадь треугольника ADC равна 192 см².

Так как треугольники ABC и ADC также подобны по той же причине, разница в площадях треугольников ABC и ADC равна квадрату соответствующего коэффициента подобия, то есть (2^2 - 1^2) = 3. Таким образом, площадь треугольника ABC равна 3 * 48 = 144 см².

Итак, площадь треугольника ABC равна 144 см².