Формулировка и доказательство теоремы Пифагора

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство данной теоремы можно провести следующим образом:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, а BC и AC - катеты. Обозначим длины сторон как a, b и c соответственно.

По определению прямоугольного треугольника, угол BAC равен 90 градусов.

Построим квадрат со стороной a + b и разобьем его на четыре одинаковых прямоугольника. Посмотрим на один из прямоугольников:

1) Площадь этого прямоугольника равна (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
2) Один из углов этого прямоугольника равен углу BAC, т.е. 90 градусов.
3) Отрезок AC, который соответствует катету, равен a, а отрезок BC, который соответствует другому катету, равен b.

Из пунктов 2 и 3 следует, что площадь этого прямоугольника равна a^2 + b^2 + 2ab.

Таким образом, площади четырех прямоугольников равны сумме квадратов длин катетов и удвоенной площади прямоугольника, т.е. (a^2 + b^2)*2.

С другой стороны, площадь квадрата со стороной с равна c^2.

Из того, что площадь квадрата равна площади четырех прямоугольников, следует, что c^2 = a^2 + b^2.

Таким образом, теорема Пифагора доказана.