Из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр длинной 36 см. Основание перпендикуляра делит диагональ в отношении 9:16. Найдите диагональ прямоугольника и тангенс угла образованного меньшей стороной и диагональю

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину диагонали прямоугольника через D, а высоту опущенного перпендикуляра - h. Также обозначим основание перпендикуляра за x. Тогда получаем систему уравнений:

[x^2 + h^2 = D^2]

[x = \frac{9}{9+16} \cdot D = \frac{9}{25} \cdot D]

[\left(\frac{9}{25} \cdot D\right)^2 + h^2 = D^2]

[\frac{81}{625} \cdot D^2 + h^2 = D^2]

[h^2 = D^2 - \frac{81}{625} \cdot D^2 = \frac{625 - 81}{625} \cdot D^2 = \frac{544}{625} \cdot D^2]

[h = \frac{sqrt{544}}{25} \cdot D]

Так как точка пересечения диагонали и опущенного перпендикуляра образует прямоугольный треугольник с меньшей стороной прямоугольника, то можно найти тангенс угла между меньшей стороной и диагональю:

[tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{9}{25} \cdot D} = \frac{\frac{sqrt{544}}{25} \cdot D}{\frac{9}{25} \cdot D} = \frac{sqrt{544}}{9}]

Таким образом, длина диагонали прямоугольника равна (25 \cdot \frac{sqrt{544}}{25} \approx 23,349) см, а тангенс угла между меньшей стороной и диагональю равен (\frac{sqrt{544}}{9})