1)В окружность радиуса 3+√3 (корень из 3) вписан правильный шестиугольник ABCDEK. Найти квадрат радиуса круга, вписанного в треугольник

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В правильном шестиугольнике все стороны и углы равны. Построим радиусы вписанной окружности, проведя их к серединам сторон шестиугольника. Таким образом, мы разделим шестиугольник на 12 равных равносторонних треугольников. Угол в центре шестиугольника - 360˚, значит, угол в вершине одного из таких треугольников будет равен 360/6 = 60°.

Рассмотрим треугольник BCD. Т.к. в этом треугольнике угол при вершине равен 60°, то другие два угла равны 60°. Значит, треугольник BCD - равносторонний. Из равностороннего треугольника можно найти радиус вписанной окружности (r) через формулу: r = a√3/6, где а - длина стороны треугольника BCD. Так как сторона шестиугольника равна радиусу умноженному на √3, то a = (3+√3)√3/3 = 3√3 + √(3*3) = 3√3 + 3.

Теперь, найдем площадь треугольника BCD по формуле S = 1/2 a r, где a - длина стороны треугольника, а r - радиус вписанной окружности. Подставив значения, получим
S = 1/2 (3√3 + 3) ((3+√3)√3/6) = 1/2 (3√7 + 3) (√21 / 6).

Таким образом, квадрат радиуса круга, вписанного в треугольник BCD, будет равен квадрату найденной площади S.