1)Найдите синус, косинус и тангенс острого угла, если периметр =52 см, а площадь 120см2. 2) гипотенуза прямоугольного треугольника равна 82см, а тангенс одного из углов равен 9/40. Найдите катеты этого треугольника. 3) найдите синус, косинус и тангенс угла при вершине равнобедренного треугольника, периметр=36см, а основание 10 см. 4) катет прямоугольного треугольника равен 14 см, а косинус противолежащего угла равен 24/25. найдите другие стороны этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда периметр выражается следующим образом: a + b + c = 52. А площадь равна S = (1/2)ab.
Разложим площадь на выражение через катеты: ab = 240.
Теперь вспоминаем формулы:
c = √(a^2 + b^2)
sinα = a/c
cosα = b/c
tgα = a/b

Решаем систему уравнений:
a + b + √(a^2 + b^2) = 52
ab = 240

Решив ее методом подбора, получаем a = 15, b = 8, c = 29.
Тогда sinα = 15/29, cosα = 8/29, tgα = 15/8.

2) По формуле тангенса, tgα = a/b = 9/40.
Дано гипотенуза c = 82.
Из уравнения tgα = a/b следует, что a = 9k, b = 40k для некоторого k.
Считаем через теорему Пифагора: c^2 = a^2 + b^2
82^2 = (9k)^2 + (40k)^2
6724 = 1681k^2
k ≈ √4
k = 2
Тогда a = 18, b = 80.

3) Пусть катет треугольника равен a, основание равно b, гипотенуза равна c. Тогда периметр выражается следующим образом: a + a + b = 36, откуда a = (36 - b)/2.
Из основной формулы S = (1/2)bh найдем высоту h: 120 = bh, h = 12/b.
Теперь применим теорему Пифагора: c^2 = (b/2)^2 + 12^2, откуда c = √((b^2)/4 + 144).
Таким образом, sinα = 12/c, cosα = b/(2c), tgα = 12/(b/2).

4) Пусть катет противолежащий к углу α равен a, гипотенуза c. Тогда по формуле косинуса: cosα = b/c = 24/25.
Из уравнения b^2 + a^2 = c^2 найдем a: a = √(c^2 - b^2) = √(25^2 - 24^2) = 7.
Так как tgα = a/b, то b = 25/24 * 7 = 7.5.
Тогда c = √(7^2 + 7.5^2) = √(49 + 56.25) = √105.