Ребро куба EFGHE1F1G1H1 равно 3. Найдите тангенс угла между плоскостями EHG и EGF1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем векторы, лежащие в плоскостях EHG и EGF1.

Вектор EH можно представить как E1H1 + E1H + EH, а вектор E1F можно представить как E1H + HF + F1H + E1F1 + E1F. Тогда векторное произведение этих векторов будет лежать в обеих плоскостях.

EH = (0, 0, 0)
E1H = (0, 3, 0)
H1G = (3, 0, 0)

E1H x H1G = (30 - 00, 00 - 33, 00 - 00) = (0, -9, 0)

Теперь найдем векторы E1G и EGF1:

E1G = E1H + HG + G1H = (0, 3, 0) + (3, 0, 3) + (3, 3, 0) = (6, 6, 3)

E1G x E1F = (60 - 60, 36 - 60, 60 - 66) = (0, 18, -36)

Теперь можем найти тангенс угла между этими плоскостями:

tg(α) = |(E1H x H1G) (E1G x E1F)| / (|(E1H x H1G)| |(E1G x E1F)|)
tg(α) = |(0, -9, 0) (0, 18, -36)| / (|0, -9, 0| |0, 18, -36|)
tg(α) = |(00 - (-9)(0), 0(-36) - 00, -918 - 00)| / (sqrt(0^2 + (-9)^2 + 0^2) sqrt(0^2 + 18^2 + (-36)^2))
tg(α) = |(0, 0, -162)| / (9 sqrt(324 + 1296))
tg(α) = 162 / (9 sqrt(1620))
tg(α) = 162 / (9 40.25)
tg(α) ≈ 1.99

Ответ: tg(α) ≈ 1.99