В треугольнике KLM угол ∠K в два раза больше угла ∠M, KN - биссектриса угла∠K. a) Докажите, что прямая KM параллельна биссектрисе угла ∠KNL. a) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник KLM, если сторона LM на 5 больше стороны KL, а KM=11.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Поскольку угол ∠K в два раза больше угла ∠M, то ∠K = 2∠M. Также из условия KN - биссектриса угла∠K, следовательно, ∠KKN = ∠MKN. Так как угол ∠K равен сумме ∠M и ∠MKN, то ∠KKN = ∠KM. Значит, углы ∠KNL и ∠KML равны, что делает прямую KM параллельной биссектрисе угла ∠KNL.

б) Обозначим радиус окружности как r. Так как KN - биссектриса угла ∠K и KM = 11, то мы можем записать, что KL+LM = 2*r. Также из условия LM = KL + 5 и KM = 11 получаем систему уравнений:

KL + KL + 5 = 2r
2KL + 5 = 2r
KL = r - 5/2

Также, из теоремы синусов в треугольнике KLM:

KL/sin(∠M) = KM/sin(∠K)
(r - 5/2)/sin(∠M) = 11/sin(∠K)

Так как ∠K = 2∠M, то sin(∠K) = 2sin(∠M)cos(∠M). Подставляем этот результат в уравнение и решаем систему уравнений. Получаем, что радиус вписанной в треугольник KLM окружности равен 3.