Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 8,радиус окружности,вписанной в основание,равен два корня из двух.Найдите: A.сторону основания пирамиды Б.угол между боковым ребром и плоскостью основания В.площадь боковой поверхности пирамиды Г.площадь полной поверхности пирамиды

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами правильной треугольной пирамиды.

A. Построим прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 8, а катет равен радиусу вписанной окружности - 2√2. Тогда второй катет будет равен √(8^2 - (2√2)^2) = √(64-8) = √56 = 2√14. Так как основание треугольника является правильным треугольником, то его сторона равна двум катетам, итак сторона основания пирамиды равна 2√14.

Б. Угол между боковым ребром и плоскостью основания в правильной треугольной пирамиде равен arccos(1/3). Это следует из рисунка треугольника, где одна из сторон треугольника является медианой основания правильной треугольной пирамиды.

С. Площадь боковой поверхности пирамиды равна половина периметра основания, умноженного на высоту пирамиды. Периметр основания равен 3 сторонам основания, то есть 3 2√14 = 6√14. Высота пирамиды найдем по теореме Пифагора в плоском треугольнике, образованном половиной бокового ребра, радиусом и высотой пирамиды. Получаем h = √(8^2 - (2√2)^2) = √(64-8) = √56 = 2√14. Итак, Sбок = 6√14 2√14 / 2 = 84.

Г. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания. Площадь основания равна (корень из трех в квадрате делим на 4) сторона основания в квадрате. Получаем Sосн = (sqrt(3)^2 / 4) (2√14)^2 = (3 / 4) * 56 = 42. Итак, Sполн = Sбок + Sосн = 84 + 42 = 126.

Итак, мы нашли все искомые величины:
A. Сторона основания пирамиды равна 2√14.
Б. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен arccos(1/3).
В. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 84.
Г. Площадь полной поверхности пирамиды равна 126.