В правильной треугольной пирамиде МАВС все боковые ребра образуют с плоскостью основания углы, равные 60°. Найдите отношение площади основания пирамиды к площади сечения, проведенного через вершины В и С перпендикулярно ребру МА.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона основания пирамиды равна а, а расстояние от вершины пирамиды до основания равно h.

Так как все боковые ребра образуют с плоскостью основания углы, равные 60°, то треугольник ВСА равносторонний.

Таким образом, ВС = а и ВМ = СМ = а/√3.

Площадь основания пирамиды равна S_osn = а^2.

Площадь сечения равна S_s = S_осн * (1 - h/BC)^2.

Из равнобедренного треугольника ВМС найдем BC:

(ВС)^2 = (ВМ)^2 + (МС)^2,

а^2 = (a/√3)^2 + (a/√3)^2,

a^2 = 2*(a/√3)^2,

a^2 = 2a^2/3,

a^2 = 3a^2/3,

a^2 = a^2.

Отсюда получаем, что BC = a.

Таким образом, S_s = S_осн * (1 - h/a)^2.

Найдем h исходя из того, что треугольник ВМС равнобедренный и угол при вершине равен 60°:

h = BC sin(60°) = a sin(60°) = a * √3 / 2.

Подставляем найденное значение h в формулу для S_s:

S_s = S_осн (1 - √3/(2))^2 = S_осн (1 - 3/4)^2 = S_осн (1/4)^2 = S_осн 1/16.

Таким образом, отношение площади основания пирамиды к площади сечения, проведенного через вершины В и С перпендикулярно ребру МА, равно 1:16.