В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2a, а прилежащий угол равен 30°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть высота цилиндра h, радиус цилиндра R.

Так как основание призмы - прямоугольный треугольник, то длина его гипотенузы равна (2a), а катеты соответственно равны (a) и (a\sqrt{3}) (катет, находящийся против угла в 30°, равен (a\sqrt{3})).

Так как диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°, то длина диагонали равна (\sqrt{2} \cdot a \cdot \sqrt{3}).

Таким образом, (2a = \sqrt{2} \cdot a \cdot \sqrt{3}), откуда (a = \sqrt{6}).

Так как радиус цилиндра R равен катету прямоугольного треугольника, то (R = \sqrt{6}).

Так как основание призмы - прямоугольный треугольник со сторонами (a = \sqrt{6}) и (a\sqrt{3} = 6), то площадь основания призмы (S_{\text{призмы}} = 1/2 \cdot a \cdot a\sqrt{3} = 3).

Объем призмы (V{\text{призмы}} = S{\text{призмы}} \cdot h = 3h).

Так как призма вписана в цилиндр, то (V{\text{призмы}} = V{\text{цилиндра}}).

Итак, объем цилиндра равен (3h).