1. В треугольнике CDE точка M лежит на стороне CE, причём угол CMD острый. Докажите, что DE>DM 2.Найдите углы треугольника ABC, если угол A на 60° меньше угола B и в 2 раза меньше угла C. 3.В прямоугольном треугольнике ABC (угол С=90°) биссектрисы CD и AE пересекаются в точке О. Угол AOC=105° Найдите острые углы треугольника ABC. 4. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку угол CMD острый, то по теореме косинусов в треугольнике CMD:
DE^2 = DM^2 + CD^2 - 2DMCD*cos(CMD)
DE^2 > DM^2, потому что CD > 0 и угол CMD острый, следовательно DE > DM.

Пусть угол B = x, тогда угол A = x - 60, угол C = 2x.
Из суммы углов треугольника:
x + x - 60 + 2x = 180
4x = 240
x = 60
Углы треугольника ABC равны: A = 0, B = 60, C = 120.

Поскольку AOC = 105, то AOE = AOC/2 = 52.5, а ACE = AOE + CEO = 52.5 + 90 = 142.5.
Острые углы треугольника ABC: A = 37.5, B = 52.5.

Пусть наибольший внешний угол треугольника равен 2x, тогда второй внешний угол равен x.
Из суммы внешних углов треугольника:
2x + x + 45 = 360
3x = 315
x = 105
Таким образом, разность между внешними углами равна 2x - x = x = 105.