Докажите что если точка равноудалена от всех вершинитреугольника то прямая проходящая через центр окружности описанной около треугольника перпендикулярна плоскости треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка равноудалена от всех вершин треугольника ABC и центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке O.

Известно, что центр описанной окружности треугольника является пересечением перпендикулярных биссектрис треугольника. Таким образом, перпендикуляр к стороне AB, проходящий через O, будет являться биссектрисой угла BAC.

Теперь рассмотрим прямую, проходящую через точку O и перпендикулярную плоскости треугольника. Точка O лежит в центре описанной окружности, следовательно, радиусы этой окружности, проведенные из O к вершинам треугольника, будут равны.

Поскольку точка P равноудалена от вершин треугольника ABC, то треугольник, образованный прямыми OPA, OPB и OPC, будет являться равносторонним. Следовательно, угол POA, угол POB и угол POC будут равны между собой.

Так как треугольник AOB также является равносторонним, то угол OAB будет равен углу OBA и будет равен 60 градусам. Аналогично, угол OBC и OCA также будут равны 60 градусам.

Таким образом, прямая, проходящая через центр окружности, описанной около треугольника, будет перпендикулярна плоскости треугольника.