Докажите, что биссектрисы внешнего и внутреннего углов треугольника, проведенные из одной вершины перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения обозначим треугольник ABC, где A - вершина, из которой проведены биссектрисы.

Пусть BD - внешняя биссектриса угла ABC, а BE - внутренняя биссектриса угла ABC.

Так как BD - внешняя биссектриса угла ABC, то угол ABD/2 = угол ABC.

Так как BE - внутренняя биссектриса угла ABC, то угол CBE/2 = угол ABC.

Из этих равенств следует, что угол ABD = угол CBE.

Рассмотрим треугольники ABD и CBE. У них равны углы ABD и CBE, а углы ABC и BAC равны, так как это углы треугольника ABC.

Из этих равенств следует, что угол ABD = угол CBE и угол ABC = угол BAC.

Так как углы ABD и CBE образуют прямую, то угол ABC и BAC тоже образуют прямую.

Следовательно, биссектрисы угла ABC - BD и BE - перпендикулярны.

Таким образом, биссектрисы внешнего и внутреннего углов треугольника, проведенные из одной вершины, перпендикулярны.