Найдите высоту правильной треугольной пирамиды у которой площадь основания равна 27 корень из 3 см2 а полная поверхность 72 корень из 3 см2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления высоты пирамиды найдем сначала длину стороны основания.

Площадь основания прямоугольной пирамиды равна (S_{осн}=\frac{1}{2} a\cdot p,)
где (a) - длина стороны основания пирамиды, (p) - периметр основания.

Так как пирамида правильная, то периметр основания равен
[p = 3a.]

Тогда
[S_{осн} = \frac{1}{2} a\cdot 3a,]
[27\sqrt{3} = \frac{3}{2}a^2,]
[a^2 = 18\sqrt{3},]
[a = 3\sqrt{6}.]

Полная площадь поверхности пирамиды равна
[S{полная} = S{осн} + S{бок} ,]
где (S{бок}) - площадь боковой поверхности пирамиды.

Для правильной треугольной пирамиды боковая поверхность состоит из трех равносторонних треугольников.

Площадь треугольника равна (\frac{1}{2} a h,)
где (a) - длина стороны треугольника, (h) - высота треугольника.

Высота треугольника равна высоте пирамиды. Таким образом,
[S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{6} \cdot h = \frac{9\sqrt{6}}{2} h.]

Теперь подставим известные значения площадей в уравнение для полной площади поверхности пирамиды:
[72\sqrt{3} = 27\sqrt{3} + \frac{9\sqrt{6}}{2} h,]
[45\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{6}}{2} h,]
[h = \frac{10\sqrt{2}}{3}.]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна (\frac{10\sqrt{2}}{3}) см.