Из точки B к окружности с центром O проведены касательные BC и BD (D и C - точки касания). Отрезки BO и CD пересекаются в точке N. Найдите радиус окружности, если CD=16, BN=4 4/15

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольник BCD - прямоугольный, так как BC и BD - это касательные к окружности, а значит, углы BDC и BCD прямые.

Поскольку BN является медианой треугольника BCD, то N делит CD пополам. То есть, CD = DN = 16/2 = 8.

Также, по теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике BCD с катетами 8 и 16, гипотенуза BN равна:
BN = √(8^2 + 16^2) = √(64 + 256) = √320 = 4√20 = 4 4/15

Теперь посмотрим на треугольник BON: он равнобедренный, так как BD и BC - касательные к окружности и равны между собой, а значит соответствующие углы равны.

Так как BON - равнобедренный, то NO = BN = 4 4/15. Также, из равнобедренности треугольника BON следует, что угол BON равен углу BNO.

Рассмотрим треугольник DNO: там угол NOB - прямой, то есть равный 90 градусов, так же как угол OND в точке N - 90 градусов. Это значит, что треугольник DNO - прямоугольный.

Таким образом, NO - это гипотенуза треугольника DNO, а значит частью окружности с центром O. Поэтому радиус окружности равен NO = 4 4/15.

Итак, радиус окружности равен 4 4/15.