Расстояние от центра вписанной вписанной в прямоугольный треугольник окружности до концов гипотенузы равна корень из 5 и корень из 10. Найдите длину гипотенузы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус вписанной окружности треугольника равен r, тогда расстояние от центра окружности до каждого из концов гипотенузы равно r.

Так как описанный вокруг треугольника окружность радиусом r делит гипотенузу пополам, то согласно задачей

r + r = √5 + √10

2r = √5 + √10

r = (1/2)(√5 + √10)

Внутренний радиус вписанной окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр треугольника, то есть

(r = \frac{S}{P/2}).

Площадь S прямоугольного треугольника равна (\frac{ab} {2}), где а и b - катеты.

Такой треугольник можно разбить на два равнобедренных прямоугольных треугольника, катеты которых равны (\sqrt5) см и (\sqrt10) см.

(S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt5 \cdot \sqrt10 = \sqrt50).

Периметр треугольника равен а + b + c, где с - гипотенуза.

Полупериметр (P = \frac{a+b+c}{2} = \frac{\sqrt5 + \sqrt10 + c}{2}).

Таким образом, (r = \frac{\sqrt50}{\frac{\sqrt5 + \sqrt10 + c}{2}} = \frac{2\sqrt50}{\sqrt5 + \sqrt10 + c})

(c = 2 \cdot \sqrt50 - 2 \sqrt5 - 2 \sqrt10 = 2 \cdot \sqrt{50} - 2 \cdot (\sqrt 5 + \sqrt 10))

(c = 2 \cdot 5 \sqrt2 - 2(\sqrt 5 + \sqrt {10}) = 10\sqrt2 - 2 \sqrt 5 - 2 \sqrt{10}).

Длина гипотенузы равна [10 \sqrt 2 - 2 \sqrt 5 - 2 \sqrt {10}.]