Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите , что центр описанной около неё окружности лежит на окружности , описанной около треугольника APB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что из равнобедренности трапеции $ABCD$ следует, что $AD=BC$. Также, как $BC=AD$, то $\angle ADB = \angle BAC$.

Теперь рассмотрим треугольники $PBD$ и $PAC$. Поскольку дополнительный угол к равным $\angle PAD$ и $\angle PBD$ равны, данные углы, должны быть равны самим по себе. Тогда по свойству углов треугольника вершины $APB$, $ABCD$ мы получаем, что $\angle PCB = \angle PDA$. Так как каждый из углов $BCD$ и $ADC$ находится на одной и той же дуге поперечной, то, $\angle BCD + \angle CAD = \angle BPD + \angle APD $, что и значи, что центр описанной около $APB$ лежит на окружности описанной около $ABCD$.