Первым шагом найдем радиус вписанного круга.
Пусть $OS=r$ - радиус круга, а $OT=h$ - высота трапеции.
Так как $O$ - центр вписанного круга, через него можно провести две касательные к сторонам трапеции, которые являются радиусами круга.
В результате образуется два равнобедренных треугольника $OST$ и $OTS$.
Так как $ROT=60^{\circ}$, то $OST$ и $OTS$ - равнобедренные треугольники.
Из условий задачи имеем $OT=18$, значит $OS=OT=18$.
Обозначим через $X$ точку пересечения высоты трапеции с её основанием.
Так как $AXO$ - равнобедренный треугольник, то $AX=18$.
В прямоугольном треугольнике $SOA$ имеем $\sin{30^{\circ}}=\frac{r}{18}$, откуда $r=9$.
Теперь вычислим площадь круга: $S=\pi r^2=\pi 9^2=81\pi$.
Ответ: $81\pi$.
Первым шагом найдем радиус вписанного круга.
Пусть $OS=r$ - радиус круга, а $OT=h$ - высота трапеции.
Так как $O$ - центр вписанного круга, через него можно провести две касательные к сторонам трапеции, которые являются радиусами круга.
В результате образуется два равнобедренных треугольника $OST$ и $OTS$.
Так как $ROT=60^{\circ}$, то $OST$ и $OTS$ - равнобедренные треугольники.
Из условий задачи имеем $OT=18$, значит $OS=OT=18$.
Обозначим через $X$ точку пересечения высоты трапеции с её основанием.
Так как $AXO$ - равнобедренный треугольник, то $AX=18$.
В прямоугольном треугольнике $SOA$ имеем $\sin{30^{\circ}}=\frac{r}{18}$, откуда $r=9$.
Теперь вычислим площадь круга: $S=\pi r^2=\pi 9^2=81\pi$.
Ответ: $81\pi$.