Точка касания окружности,вписанной в прямоугольный треугольник , и катета делит на отрезки длиной 3 и 5. Найдите радиус окружности,описанной около этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус вписанной окружности как r, а радиус описанной окружности как R.

Так как точка касания вписанной окружности касается катета, то она делит его на два отрезка длиной 3 и 5. Следовательно, сумма длин этих отрезков равна длине катета:
3 + 5 = 8.

Известно, что радиус вписанной окружности проведен к точке касания перпендикулярно катету. Таким образом, сумма радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности равна длине катета:

r + R = 8.

Также известно, что радиус описанной окружности проведен к вершинам прямоугольного треугольника и является половиной гипотенузы. Таким образом, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы треугольника:

R = c / 2.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем:
(3)^2 + (5)^2 = c^2,
9 + 25 = c^2,
34 = c^2,
c = √34.

Таким образом, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
R = √34 / 2.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности, подставив найденное значение радиуса описанной окружности в уравнение:
r + √34 / 2 = 8,
r = 8 - √34 / 2.

Итак, радиус окружности, описанной около данного прямоугольного треугольника, равен √34 / 2, а радиус окружности, вписанной в него, равен 8 - √34 / 2.