Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом при основании 30 градусов равен 8. Найдите основание треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основание равнобедренного треугольника равно а, а высота равна h.

Так как угол при основании равен 30 градусов, то у треугольника будет еще один угол 75 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Также из условия известно, что радиус описанной окружности равен 8, и он является высотой треугольника.

Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен h, а также, что h = a/2 * tg(30°) (см. замечание ниже).

Выразим высоту через стороны треугольника по теореме Пифагора
h^2 + (a/2)^2 = a^
a^2/4 * tg^2(30°) + a^2/4 = a^
a^2 (tg^2(30°) + 1) = 4a^
tg^2(30°) + 1 =
tg^2(30°) =
tg(30°) = sqrt(3)

Значит, h = a/2 * sqrt(3)

Итак, h = 8, значит
a/2 * sqrt(3) =
a = 16 / sqrt(3)

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно a = 16 / sqrt(3) или приблизительно 9.24.

Замечание: Тангенс угла 30 градусов равен tg(30°) = 1/√3.