В треугольнике ABC на равных сторонах AC и BC отмечены точки D и Е соответственно, D и Е соответствены, причём угол CAE равный углу CBD. Докажите, что AE равно BD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение с помощью теоремы косинусов.

Пусть AC = BC = a, угол CAE = угол CBD = α, AE = x, BD = y.

В равностороннем треугольнике ABC угол CAB = угол CBA = 60°.

В треугольнике ACD с помощью теоремы косинусов можем записать:
cos(60°) = (a^2 + a^2 - 2ax) / (2a * a),
1/2 = (2a^2 - 2ax) / 2a^2,
1 = 2a^2 - 2ax,
2ax = 2a^2 - 1,
x = a - 1 / 2.

Аналогично, в треугольнике BCD:
cos(60°) = (a^2 + a^2 - 2by) / (2a * a),
1/2 = (2a^2 - 2by) / 2a^2,
1 = 2a^2 - 2by,
2by = 2a^2 - 1,
y = a - 1 / 2.

Таким образом, AE = BD, что и требовалось доказать.