Равнобедренные треугольники ABC и ABD имеют общее основание AB. Докажите, что отрезок CD проходит через середину AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого факта, обозначим точку середины отрезка AB как M. Из условия равнобедренности треугольников ABC и ABD следует, что углы ACB и ADB равны, так как это внешние углы к равным сторонам. Также, данные треугольники имеют общее основание AB.

Рассмотрим треугольник ADC. Поскольку углы ACB и ADB равны, углы CAD и DAB также равны (как внешние к равным углам). Следовательно, треугольники ACD и ADB подобны по двум углам.

Так как треугольники ACD и ADB подобны, то соответствующие стороны пропорциональны:

AC/AD = CD/BD

Также, учитывая что треугольники ABC и ABD равнобедренные и CB=BD, мы можем заменить BD переменной CB:

AC/AD = CD/CB

Отсюда следует, что CD является медианой треугольника ADC (проведенной из вершины треугольника к середине противолежащей стороны). Значит, CD проходит через середину отрезка AB, что и требовалось доказать.