Найти сторону, площадь и периметр правильного шестиугольника, если радиус вписанной окружности равен 6 см?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен 6 см.

Найдем длину стороны правильного шестиугольника:
Поскольку вписанная окружность касается всех сторон шестиугольника, то радиус вписанной окружности является расстоянием от центра шестиугольника до середины одной из его сторон. Таким образом, треугольник, образуемый радиусом вписанной окружности, одной стороной шестиугольника и расстоянием от центра шестиугольника до середины этой стороны, является прямоугольным.

По теореме Пифагора:
( r^2 = \left(\frac{s}{2}\right)^2 + h^2, )
где r - радиус вписанной окружности, s - длина стороны шестиугольника, h - расстояние от центра шестиугольника до середины стороны.
Подставляем известные значения:
( 6^2 = \left(\frac{s}{2}\right)^2 + h^2, )
( 36 = \frac{s^2}{4} + h^2. )

Также из свойств правильного шестиугольника известно, что для центрального угла (120^\circ) (угол в шестиугольнике) косинус ( \frac{1}{2} ). Поэтому ( h = r \cos(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} ) см.

Подставляем значение h в уравнение:
( 36 = \frac{s^2}{4} + (3\sqrt{3})^2, )
( 36 = \frac{s^2}{4} + 27, )
( \frac{s^2}{4} = 9, )
( s^2 = 36, )
( s = 6\sqrt{3}. )

Таким образом, длина стороны правильного шестиугольника равна ( 6\sqrt{3} ) см.

Найдем площадь правильного шестиугольника:
Площадь правильного шестиугольника можно найти, разделив его на 6 равносторонних треугольников. Таким образом, площадь шестиугольника равна площади одного треугольника, умноженной на 6.

Площадь треугольника можно найти по формуле ( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} ). Учитывая, что у треугольника высота равна радиусу вписанной окружности (6 см) и основание равно длине стороны шестиугольника (6\sqrt{3} см), получаем:
( S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3} \, \text{см}^2. )

Таким образом, площадь правильного шестиугольника равна ( 6 \cdot 18\sqrt{3} = 108\sqrt{3} \, \text{см}^2. )

Найдем периметр правильного шестиугольника:
Периметр правильного шестиугольника равен шести умножить на длину его стороны:
Периметр = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}.

Ответ:
Сторона правильного шестиугольника равна 6\sqrt{3} см,
Площадь правильного шестиугольника равна 108\sqrt{3} см²,
Периметр правильного шестиугольника равен 36\sqrt{3} см.