В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 72°,биссектриса этого угла равна √20.Найдите стороны треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть равные стороны равнобедренного треугольника равны a, а основание равно b. Так как угол при основании равен 72°, то другие два угла треугольника равны по 54°.

Пусть точка пересечения биссектрисы с основанием равнобедренного треугольника образует два равных отрезка x и x. Тогда треугольник, образованный биссектрисой и двумя равными сторонами, является равнобедренным треугольником с углами 54° и 36°.

Так как этот треугольник также является прямоугольным, то мы можем записать уравнение:

(x = \sqrt{20} \cdot \frac{\sin 54°}{\sin 36°} = \sqrt{20} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{60} = 4\sqrt{15})

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны треугольника a:

(a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + x^2)

(a^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + (4\sqrt{15})^2)

(a^2 = \frac{b^2}{4} + 240)

Также зная, что биссектриса делит сторону основания на два отрезка, то можно записать:

(b = 2x = 8\sqrt{15})

Мы имеем два уравнения с двумя неизвестными a и b:

1) (a^2 = \frac{b^2}{4} + 240)

2) (b = 8\sqrt{15})

Подставим в первое уравнение значение b из второго уравнения:

(a^2 = \frac{(8\sqrt{15})^2}{4} + 240)

(a^2 = 240 + 240)

(a^2 = 480)

(a = \sqrt{480} = 4\sqrt{30})

Итак, стороны равнобедренного треугольника равны (4\sqrt{30}), (4\sqrt{30}) и (8\sqrt{15}).