Из вершины прямого угла c треугольника ABC проведена высота cp . радиус окружности вписанной в треугольник BCP равен 60, тангенс угла BAC 4/3 найдите радиус окружности вписанной в треугольник ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r. Тогда высота треугольника ABC, опущенная из вершины A, равна h = r * tg(BAC).

По условию тангенс угла BAC равен 4/3, значит, h = r * 4/3.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то h = CP, следовательно, CP = r * 4/3.

Также из условия известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 60. Пусть BC = a, BP = b, CP = c.

Тогда r = S/p, r1 = S1/p1, r2 = S2/p2, где S, S1, S2 - площади треугольников ABC, BCP и ABC соответственно, p, p1, p2 - их полупериметры.

Так как r = r1 + r2, получаем:
r = (S1/p1) + (S2/p2),
r = (60(1/2)c) / ((a + b + c) / 2) + (r 4/3 a) / ((a + b + c) / 2),

60c/(a+b+c) + 4ra/(3(a+b+c))=r,
60c/(b+c) + 4ra/(3(a+b+c))=r,
60c/(b+c) + 4ra/(3c+3r)=r,
60/(1+ (b/c)) + 4ra/(3c+3r)=r,
60/(1+ (b/c)) + 4ra/(3c+3r)=r,
60 =r+c радиус окружности вписанной в треугольник ABC, найдем c,
60-r=c,
60-r=4r3/5,
5*(60-r)=12r,
300-5r=12r,
300=17r,
r=300/17
ответ r= 300/17.