В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, тангенс внешнего угла при вершине A равен −3*корень из10/20, сторона BC равна 3. Найдите сторону AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника следующим образом: AB = a, AC = b, BC = c.

Из условия задачи известно, что tg(A/2) = -3sqrt(10)/20. Найдем sin(A/2) и cos(A/2):
tg(A/2) = sin(A/2) / cos(A/2) = -3sqrt(10)/20
sin(A/2) = -3sqrt(10)/20cos(A/2)

Применим формулы половинного угла для синуса и косинуса:
sin(A/2) = sqrt((1 - cos(A))/2)
cos(A/2) = sqrt((1 + cos(A))/2)

Подставим эти значения в уравнение:
-3sqrt(10)/20 = -3sqrt(10)/20 * sqrt((1 + cos(A))/2) / sqrt((1 - cos(A))/2)
1 = (1 + cos(A))/(1 - cos(A))
1 - cos(A) = 1 + cos(A)
2cos(A) = 0
cos(A) = 0

Так как cos(A) = 0, то угол A = 90 градусов. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.

Применим теорему Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + 9 = c^2

Также учитывая, что tg(A) = a / b, найдем a:
tg(90) = a / 3
a = 3

Подставим значение a в уравнение:
3^2 + 9 = c^2
9 + 9 = c^2
18 = c^2
c = sqrt(18)
c = 3sqrt(2)

Таким образом, сторона AB равна 3sqrt(2).