В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, тангенс внешнего угла при вершине A равен −3*корень из10/20, сторона BC равна 3. Найдите сторону AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника следующим образом: AB = a, AC = b, BC = c.

Из условия задачи известно, что tg(A/2) = -3sqrt(10)/20. Найдем sin(A/2) и cos(A/2)
tg(A/2) = sin(A/2) / cos(A/2) = -3sqrt(10)/2
sin(A/2) = -3sqrt(10)/20cos(A/2)

Применим формулы половинного угла для синуса и косинуса
sin(A/2) = sqrt((1 - cos(A))/2
cos(A/2) = sqrt((1 + cos(A))/2)

Подставим эти значения в уравнение
-3sqrt(10)/20 = -3sqrt(10)/20 * sqrt((1 + cos(A))/2) / sqrt((1 - cos(A))/2
1 = (1 + cos(A))/(1 - cos(A)
1 - cos(A) = 1 + cos(A
2cos(A) =
cos(A) = 0

Так как cos(A) = 0, то угол A = 90 градусов. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.

Применим теорему Пифагора
a^2 + b^2 = c^
a^2 + 9 = c^2

Также учитывая, что tg(A) = a / b, найдем a
tg(90) = a /
a = 3

Подставим значение a в уравнение
3^2 + 9 = c^
9 + 9 = c^
18 = c^
c = sqrt(18
c = 3sqrt(2)

Таким образом, сторона AB равна 3sqrt(2).