В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK=1/3AB. Площадь треугольника AMK равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона треугольника AB равна a. Так как AK = 1/3AB, то AK = a/3. Поскольку BM - медиана треугольника ABC, то AM = MC = BC/2. Обозначим длину стороны ВС как b.

Площадь треугольника AMK равна 5 и равна половине площади треугольника ABC.

Так как AM = MC = BC/2, то половина площади треугольника ABC равняется площади треугольника ABM. Обозначим высоту треугольника ABM как h. Тогда 5 = (1/2) a h.

Так как М - середина AB, то AM = MB = a/2, а значит, прямоугольный треугольник ABM с гипотенузой а и катетом a/2 и h. По теореме Пифагора имеем:

h = √(a^2 - (a/2)^2) = √(3a^2/4)

Подставим h = √(3a^2/4) в уравнение 5 = (1/2) a √(3a^2/4) и решим уравнение относительно a:

5 = (1/2) a √(3a^2/4)
10 = a * √(3a^2/4)
10 = a √(3a^2)/2
20 = a √(3a^2)
400 = 3a^2
a^2 = 400/3
a = 20/√3

Площадь треугольника ABC равна:

S_ABC = (1/2) a h
S_ABC = (1/2) (20/√3) √(3(20/√3)^2/4)
S_ABC = (1/2) (20/√3) * 10
S_ABC = 100

Итак, площадь треугольника ABC равна 100.