Докажите что высота описанной около окружности равнобокой трапеции с основаниями a и b равна √ab/2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим вершину трапеции, в которой пересекаются диагонали, как точку O. Также обозначим середину отрезка AB как точку M, а середину отрезка CD как точку N.

Так как OM и ON – медианы треугольника OAB, то OM = ON = (OA + OB) / 2 = (a + b) / 2.

Также из теоремы Пифагора в треугольнике OAM можно записать, что

AM^2 = OA^2 - OM^2 = a^2 - (a + b)^2 / 4 = (4a^2 - (a + b)^2) / 4 = (3a^2 - 2ab + b^2) / 4 = (a - b)^2 / 4.

Тогда AM = |a - b| / 2.

Аналогичные рассуждения можно провести для треугольника ONC и получить, что NC = |a - b| / 2.

Так как AO = CO = √ab, то MN = AM + NC = |a - b|.

Таким образом, высота описанной окружности равнобокой трапеции с основаниями a и b равна √ab / 2.