Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O докажите что сумма площадей треугольников AOB и COD равна половине площади четырехугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник AOB и треугольник COD.

Учитывая, что четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O, мы имеем радиус окружности, проведенный к точкам A, B, C, D. Тогда углы BOA и DOA являются прямыми углами. Это значит, что треугольники AOB и COD прямоугольные.

Теперь рассмотрим высоты треугольников AOB и COD, проведенные из вершин O. Пусть h1 и h2 - длины высот соответственно.

Площадь треугольника AOB равна (1/2) AB h1, а площадь треугольника COD равна (1/2) CD h2.

Сумма этих площадей равна (1/2) AB h1 + (1/2) CD h2 = (1/2) (AB h1 + CD * h2).

С другой стороны, площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников AOB и COD, так как они образуют вместе весь четырехугольник.

Таким образом, сумма площадей треугольников AOB и COD равна половине площади четырехугольника ABCD.