В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое боьше стороны основания. а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 1 : 2, считая от вершины S. б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Обозначим середину ребра SA как M, середину ребра SD как N, а середину ребра SF как K. Так как боковое ребро вдвое больше стороны основания, то SA = 2AB. Также, так как M и N - середины рёбер SA и SD, соответственно, то MN = 1/2 SD = 1/2 SA = AB.

Рассмотрим треугольники ASC и BSD. Так как AM = MN = NB, то треугольники ASC и BSD равны и соответственно равны стороны AC и BC, а значит, равны и углы между ними. Следовательно, угол ASC равен углу BSD.

Теперь рассмотрим правильный треугольник ASS'. Так как угол ASS' равен 120° (равенство углов следует из того, что фигура правильная), то правильный треугольник ASD имеет угол ASD равным 60°.

Построим высоту из вершины S на грань ASD, обозначим точку пересечения высоты с гранью ASD как P. Так как угол ASD равен 60°, то угол ASP также равен 60°. Так как углы ASC и ASP равны, то треугольники ASP и ASC подобны. Таким образом, соотношение длин отрезков AP и PS равно 1 : 2, что и требовалось доказать.

б) Теперь рассмотрим треугольники ASS' и SFF'. Так как угол ASS' равен 120°, то угол SFF' также равен 120°. Поскольку угол ASF прямой, то угол FSS' также прямой.

Рассмотрим треугольники ASF и SFF'. Так как угол ASF равен углу SFF' (прямой угол), а угол FAS равен углу FSF' (равные углы, так как треугольник ASF равнобедренный), то данные треугольники подобны по признаку угла.

Из подобия треугольников ASF и SFF' следует, что отношение длин отрезков SF и SF' также равно 1 : 2. Таким образом, плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF в отношении 1 : 2, считая от вершины S.