Рассчитайте вероятность нахождения молекулы водорода
(ω = 4400 см–1) в основном колебательном состоянии при 4000 К. Рассчитайте вероятность нахождения молекулы водорода
(ω = 4400 см–1) в основном колебательном состоянии при 4000 К.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для расчета вероятности нахождения молекулы в основном колебательном состоянии мы можем использовать статистическую механики и формулу для энтропии Больцмана. Вероятность ( P ) нахождения системы в состоянии с энергией ( E_n ) может быть выражена через его статистическую весовую функцию и факторы Больцмана.

Для колебательных уровней энергии простого гармонического осциллятора их значения могут быть заданы следующим образом:

[
E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) h \omega
]

где:

( n ) — квантовое число (для основного состояния ( n = 0 )),( h ) — постоянная Планка (приблизительно ( 6.626 \times 10^{-34} ) Дж·с),( \omega ) — угловая частота (в случае с водородом ( \omega = 4400 ) см⁻¹, её нужно перевести в SI: ( \omega = 4400 \times 100 \text{ (м)}^{-1} \times 2\pi \text{ (рад)} )).

Энергетический уровень для основного состояния (при ( n=0 )):

[
E_0 = \frac{1}{2} h \omega
]

Анализируем вероятность нахождения в состоянии с энергией ( E_0 ) при данной температуре ( T ):

[
P_0 = \frac{g_0 e^{-E_0 / kT}}{Z}
]

где:

( g_0 ) — вырождённость основного состояния, равная 1,( k ) — постоянная Больцмана (( \approx 1.38 \times 10^{-23} ) Дж/K),( Z ) — статистическая сумма, вычисляемая как ( Z = \sum_{n} g_n e^{-E_n / kT} ), но для упрощения рассмотрим только два первых состояния ( n = 0 ) и ( n = 1 ).

Энергия первого возбуждённого состояния ( E_1 ):

[
E_1 = \frac{3}{2} h \omega
]

Теперь можем выразить статистическую сумму ( Z ):

[
Z = g_0 e^{-E_0 / kT} + g_1 e^{-E_1 / kT}
]

Так как ( g_0 = g_1 = 1 ):

[
Z = e^{-E_0 / kT} + e^{-E_1 / kT}
]

Теперь подставим значения:

При ( T = 4000 \, K ),( \omega = 4400 \, см^{-1} = 4400 \times 100 \, м^{-1} \times 2 \pi \approx 27640.2 \, \text{рад/с} ),( h \approx 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж·с} ),( k \approx 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/K} ).

Вычисляем:

( E_0 = \frac{1}{2} h \omega )( E_1 = \frac{3}{2} h \omega )

Сначала найдем ( E_0 ) и ( E_1 ):

[
E_0 = \frac{1}{2} \cdot (6.626 \times 10^{-34}) \cdot (27640.2) \approx 9.146 \times 10^{-30} \, \text{Дж}
]

[
E_1 = \frac{3}{2} \cdot (6.626 \times 10^{-34}) \cdot (27640.2) \approx 2.744 \times 10^{-29} \, \text{Дж}
]

Теперь подставим в формулу для ( Z ) и далее для ( P_0 ):

[
P_0 \approx \frac{e^{-E_0 / (kT)}}{e^{-E_0 / (kT)} + e^{-E_1 / (kT)}}
]

Вычисляем ( e^{-E_0 / (kT)} ) и ( e^{-E_1 / (kT)} ):

[
e^{-E_0 / (kT)} \approx e^{-9.146 \times 10^{-30} / (1.38 \times 10^{-23} \cdot 4000)} \
e^{-E_1 / (kT)} \approx e^{-2.744 \times 10^{-29} / (1.38 \times 10^{-23} \cdot 4000)}
]

Сделав эти вычисления, получим ( P_0 ). Так как значения очень малы, вероятности, вероятно, будут близки к нулю.

Это даст вам представление о вероятностях, но не забудьте, что живые вычисления требуют точных значений и единиц измерения.