Задача по геометрии в треугольник вписали окружность две его стороны равны 2 и 3, а третья делится точкой касания в отношении 3:5. Найти чему равна эта сторона?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где a = 2, b = 3, и точка касания третьей стороны делит ее в отношении 3:5, то есть c = 3x и c = 5y.

Из теоремы о касательной к окружности, точка касания к окружности, точка касания и основание перпендикуляра проведенного к центру окружности, лежат на одной прямой. Поэтому S(ABC) = p * r, где S(ABC) - площадь треугольника, r - радиус вписанной окружности, а p - полупериметр треугольника ABC.

Так как r = S / p, где S – площадь треугольника ABC, выразим S через площадь Герона: p = a + b + c / 2, S = sqrt(p (p - a) (p - b) (p - c)).
Из условия задачи получаем систему уравнений a + b + c / 2 = p и a + b + c / 2 = 3 r.

Решив систему уравнений, получаем:

2 + 3 + c / 2 = 3 * r
c = 6r - 5

Также известно, что c = 3x = 5y, поэтому 6r - 5 = 3x = 5y

Подставляем x = c/3 и y = c/5:

6r - 5 = c;
6r - 5 = (3c)/5;
6r - 5 = (5c)/3;

Подставляем c = 6r - 5 в последнее уравнение и находим r:

6r - 5 = (5(6r - 5))/3
6r - 5 = 30r/3 - 25/3
6r - 5 = 10r - 25/3
18r - 15 = 30r - 25
10 = 12r
r = 5/6

Теперь находим сторону c:

c = 6r - 5
c = 6(5/6) - 5
c = 5 - 5
c = 0

Ответ: третья сторона треугольника равна 0.