Задача по математике Решить графически следующую задачу линейного программирования F (x) = x1 + 4x2 → max; - X1 ≤ 6, x1 +4X2 ≤6, x1- 3X2 ≤ 5, - 2x2 ≤ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи линейного программирования графически, начнем с построения неравенств на координатной плоскости. Ваша задача заключается в максимизации функции ( F(x) = x_1 + 4x_2 ) с учетом заданных ограничений.

Сначала запишем все неравенства:

(-x_1 \leq 6 ) (или ( x_1 \geq -6 ), что не ограничивает область в первом квадранте)( x_1 + 4x_2 \leq 6 )( x_1 - 3x_2 \leq 5 )(-2x_2 \leq 5 ) (или ( x_2 \ge -2.5 ), что также не ограничивает область в первом квадранте)( x_1 \ge 0 )( x_2 \ge 0 )

Теперь найдем границы для каждого ограничения по оси ( x_1 ) и ( x_2 ):

График ( x_1 + 4x_2 = 6 ):

Если ( x_1 = 0 ), то ( 4x_2 = 6 ) → ( x_2 = 1.5 ) (точка (0, 1.5)).Если ( x_2 = 0 ), то ( x_1 = 6 ) (точка (6, 0)).Это линия, которой соответствует область ( x_1 + 4x_2 \leq 6 ).

График ( x_1 - 3x_2 = 5 ):

Если ( x_1 = 0 ), то ( -3x_2 = 5 ) → ( x_2 = -\frac{5}{3} ) (не подходит, т.к. не в первом квадранте).Если ( x_2 = 0 ), то ( x_1 = 5 ) (точка (5, 0)).Если ( x_1 = 5 ), то ( 5 - 3x_2 = 5 ) → ( x_2 = 0 ) (точка (5, 0)).Итак, эта линия проходит через точки (5, 0) и (0, -\frac{5}{3}) и соответствует области ( x_1 - 3x_2 \le 5 ).

График ( -2x_2 = 5 ):

Если ( x_2 = 0 ), то нет ограничения по ( x_1 ).Если ( x_1 = 0 ), то ( x_2 = -2.5 ) (тоже не подходит).Эта линия соответствует тому, что ( x_2 ) не может быть отрицательным в первом квадранте.

Значения ( x_1 \ge 0 ) и ( x_2 \ge 0 ).

Теперь, когда мы построили все линии и определили область допустимых решений, мы определяем ее пересечения, чтобы найти все возможные точки, в которых будет достигнут минимум.

Пересечения ограничений:

Пересечение ( x_1 + 4x_2 = 6 ) и ( x_1 - 3x_2 = 5 ):
[
\begin{align}
x_1 + 4x_2 &= 6 \quad (1)\
x_1 - 3x_2 &= 5 \quad (2)
\end{align}
]
Выразим ( x_1 ) из (2):
[
x_1 = 5 + 3x_2.
]
Подставим в (1):
[
5 + 3x_2 + 4x_2 = 6 \implies 7x_2 = 1 \implies x_2 = \frac{1}{7}.
]
Подставим значение ( x_2 ) в (2) для нахождения ( x_1 ):
[
x_1 = 5 + 3 \cdot \frac{1}{7} = 5 + \frac{3}{7} = \frac{38}{7}.
]

Теперь найдем остальные точки пересечения, чтобы иметь полный набор точек. После нахождения всех этих точек координаты будут следующим образом:

(0, 0)(6, 0)(5, 0)Другие значения.

После нахождения этих точек подставьте их в целевую функцию ( F(x) = x_1 + 4x_2 ) и найдите максимальное значение в пределах этой области.

Финальные координаты и значение функции позволят вам определить максимальное значение задачи.