Кто шарит в кругах эйлера? «В лингвистической школе преподают 3 языка: рапа, маори и киаи. В группе из 31 человека каждый изучает 1 или 3 языка. Язык рапа изучают 17 человек, маори – 15 человек, киаи – 11 человек. Сколько человек изучают все 3 языка?»

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся формулой включений и исключений:
n(A ∩ B ∩ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Где:
n(A) - количество изучающих язык рапа (17 человек)
n(B) - количество изучающих язык маори (15 человек)
n(C) - количество изучающих язык киаи (11 человек)
n(A ∩ B) - количество изучающих язык рапа и маори (31 - n(C) = 17 + 15 - n(C))
n(A ∩ C) - количество изучающих язык рапа и киаи (31 - n(B) = 17 + 11 - n(B))
n(B ∩ C) - количество изучающих язык маори и киаи (31 - n(A) = 15 + 11 - n(A))

Подставив все известные значения, получим:
n(A ∩ B ∩ C) = 17 + 15 + 11 - (31 - 11) - (31 - 15) - (31 - 17) + n(A ∩ B ∩ C)
n(A ∩ B ∩ C) = 43 - 20 - 16 - 14 + n(A ∩ B ∩ C)
n(A ∩ B ∩ C) = 43 - 50 + n(A ∩ B ∩ C)
n(A ∩ B ∩ C) = -7 + n(A ∩ B ∩ C)

Отсюда видно, что количество изучающих все 3 языка оказалось равным 7 человекам.