Трёхзначное число, записанное в шестнадцатеричной системе счисления, увеличивается втрое от перестановки первой цифры в конец числа. Определите все такие числа. Ответ дайте в системе счисления по основанию 16.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть исходное трёхзначное число в шестнадцатеричной системе имеет вид $ABC$, где $A$, $B$ и $C$ - цифры числа в шестнадцатеричной системе счисления.

Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения: $ABC = BCA \cdot 3$

Преобразуем уравнение:
$16^2 \cdot A + 16 \cdot B + C = 16^2 \cdot B + 16 \cdot C + A \cdot 3$

$256A + 16B + C = 256B + 16C + 3A$

$256A - 3A = 256B - 16B + 16C - C$

$253A = 240B + 15C$

Далее, заметим, что $A < 16$, $B < 16$, $C < 16$. Так как $A = 1 + 16k \leq 1 + 16 \cdot 15 = 241$, то $A \leq 15$, аналогично и для $B$ и $C$. Так как $A$ - целое число, то $A = 1, 2, ..., 15$.

Теперь переберем все возможные значения $A$ и найдем соответствующие значения $B$ и $C$:

Итак, получаем, что трёхзначным числом, удовлетворяющим условиям задачи в шестнадцатеричной системе счисления, является число $C11_{16}$, где $C$ - любая цифра от 0 до F в шестнадцатеричной системе.