Доказать, что при любом n (N) справедливо тождество: 1+7/3+13/9+...+(6n-5)/(3^(n-1))=(2*3^n-3n-2)/(3^(n-1))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное тождество по индукции.

База индукции: при n = 1

Левая часть: 1 = (23^1 - 31 - 2)/3^0 = (6-3-2)/1 = 1

Правая часть: (23^1 - 31 - 2)/3^0 = (6-3-2)/1 = 1

Получаем, что база индукции выполняется.

Предположение индукции: предположим, что для произвольного n = k выполняется равенство:

1 + 7/3 + 13/9 + ... + (6k-5)/3^(k-1) = (2*3^k - 3k - 2)/3^(k-1)

Индукционный переход: докажем, что при n = k + 1 также выполняется данное равенство.

1 + 7/3 + 13/9 + ... + (6k-5)/3^(k-1) + (6(k+1)-5)/3^k = (2*3^(k+1) - 3(k+1) - 2)/3^k

По предположению индукции:

(23^k - 3k - 2)/3^(k-1) + (6(k+1)-5)/3^k = (23^(k+1) - 3(k+1) - 2)/3^k

Решим левую часть:

(23^k - 3k - 2)/3^(k-1) + (6(k+1)-5)/3^k =
= (23^k 3 - 9k - 6 + 18k + 3)/3^k =
= (63^(k+1) - 3k - 3)/3^k =
= (2*3^(k+1) - 3(k+1) - 2)/3^k

Таким образом, равенство верно для n = k + 1, что завершает доказательство по индукции.