Решите задачу по геометрии. На средней линнии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку Е. Докажите что сумма площадей треугольников AEB и CED равна половине площади трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину основания трапеции AD как a, а длину основания BC как b. Обозначим высоту трапеции как h.

Так как трапеция ABCD является равнобедренной, то средняя линия трапеции равна половине суммы оснований: AA' = (a + b)/2.

Так как точка Е лежит на средней линии трапеции, то отношение площадей треугольников AEB и CED равно отношению отрезков A'E и A'D, а это отношение равно a/(a + b) (так как A'E = a и A'D = a + b).

Таким образом, площадь треугольника AEB равна a/(a + b) (1/2) h = a h / (2 (a + b)).

Аналогично для треугольника CED получаем, что его площадь равна b h / (2 (a + b)).

Сумма площадей треугольников AEB и CED равна a h / (2 (a + b)) + b h / (2 (a + b)) = (a + b) h / (2 (a + b)) = h / 2.

С другой стороны, площадь трапеции ABCD равна (a + b) * h / 2.

Таким образом, сумма площадей треугольников AEB и CED равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.