Решите задачу по геометрии. Точка N середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите что сумма площадей треугольников ADN и BCN равна половине площади трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через M точку пересечения диагоналей трапеции ABCD. Так как N - середина стороны CD, то MN параллельна и равна половине стороны AB (так как ABCD - трапеция).

Также заметим, что треугольники ADN и BCN подобны треугольнику MDC, так как у них соответственные углы равны. Следовательно, соответствующие стороны таких треугольников пропорциональны.

Пусть AD = a, CD = b, BC = c, AB = d. Тогда DN = NC = (\frac{b}{2}), и AN = DC = (\frac{d}{2}).

Также, так как M - середина диагонали AB, то AM = (\frac{d}{2}) и MB = (\frac{d}{2}).

Площадь треугольника ADN равна (\frac{1}{2} \cdot AD \cdot DN = \frac{a \cdot b}{4}), a площадь треугольника BCN равна (\frac{c \cdot b}{4}).

Площадь трапеции ABCD равна (\frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(d + b) \cdot h}{2} = \frac{(a + c) \cdot b}{2}), где h - высота трапеции.

Сумма площадей треугольников ADN и BCN равна (\frac{a \cdot b}{4} + \frac{c \cdot b}{4} = \frac{(a + c) \cdot b}{4}), что равно половине площади трапеции.

Таким образом, сумма площадей треугольников ADN и BCN действительно равна половине площади трапеции ABCD.