Определение промежутков монотонности функции 1 a) y = (x-3) (x-2), b) y = x4 –8x2 –9, c) y = 1/3 x3 – 2x2 –5;

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) y = (x-3)(x-2)

Для определения промежутков монотонности функции y = (x-3)(x-2) вычислим производную функции:

y' = 2x - 5

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

2x - 5 = 0
2x = 5
x = 5/2

Теперь проведем знаковый анализ производной на интервалах (-∞, 5/2) и (5/2, +∞):

На интервале (-∞, 5/2) производная отрицательна, следовательно функция убывает.

На интервале (5/2, +∞) производная положительна, следовательно функция возрастает.

Итак, функция y = (x-3)(x-2) убывает на интервале (-∞, 5/2) и возрастает на интервале (5/2, +∞).

b) y = x^4 - 8x^2 - 9

Для определения промежутков монотонности функции y = x^4 - 8x^2 - 9 воспользуемся производной:

y' = 4x^3 - 16x

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

4x^3 - 16x = 0
4x(x^2 - 4) = 0
4x(x+2)(x-2) = 0

x = 0, x = -2, x = 2

Теперь проведем знаковый анализ производной на интервалах (-∞, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, +∞):

На интервале (-∞, -2) и (0, 2) производная положительна, функция возрастает.

На интервале (-2, 0) и (2, +∞) производная отрицательна, функция убывает.

Итак, функция y = x^4 - 8x^2 - 9 возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, 2), убывает на интервалах (-2, 0) и (2, +∞).

c) y = 1/3 x^3 - 2x^2 - 5

Для определения промежутков монотонности функции y = 1/3 x^3 - 2x^2 - 5 воспользуемся производной:

y' = x^2 - 4x

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

x^2 - 4x = 0
x(x - 4) = 0

x = 0, x = 4

Теперь проведем знаковый анализ производной на интервалах (-∞, 0), (0, 4), (4, +∞):

На интервале (-∞, 0) и (4, +∞) производная положительна, функция возрастает.

На интервале (0, 4) производная отрицательна, функция убывает.

Итак, функция y = 1/3 x^3 - 2x^2 - 5 возрастает на интервалах (-∞, 0) и (4, +∞), убывает на интервале (0, 4).