Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, площадь которого равна 9 см2. Найдите объём конуса

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, который является основанием конуса.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: ( S = \frac{a}{2} \cdot h ), где а - основание треугольника, h - высота треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то его высота проходит из вершины до середины основания и делит треугольник на два прямоугольника. Таким образом, высота равна половине высоты треугольника.

( S = \frac{a^2}{2} )

Имеем, что ( S = 9 ) см², следовательно, ( \frac{a^2}{2} = 9 ).

Отсюда находим а: ( a = \sqrt{2 \cdot 9} = \sqrt{18} ).

Теперь найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника: ( r = \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{18}}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} ).

Теперь можем найти объем конуса, используя формулу: ( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h ).

( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2})^2 \cdot h ).

Осталось найти высоту h. С помощью теоремы Пифагора, найдем значение высоты h, которая равна половине стороны бокового треугольника, сторона которого является радиусом окружности, вписанной в треугольник.

( h = \sqrt{r^2 - (\frac{a}{2})^2} ).

( h = \sqrt{(\frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{18}}{2})^2} ).

( h = \sqrt{(\frac{9}{2}) - (\frac{18}{2})} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} ).

Подставляем все значения в формулу для объема конуса:

( V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (\frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2})^2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{9 \cdot 2}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{4} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{4} )

Ответ: объем конуса равен ( \frac{9\pi}{4} ) кубических сантиметров.