Найти площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания. Две окружности радиусами R и 2R расположены так, что расстояние
между их центрами О1 и О2 равно 2R\sqrt{3}. К ним проведены общие касательные, пересекающиеся в некоторой точке отрезка О1О2. Найти площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точки касания касательных с окружностями как A и B, а точку пересечения касательных как С. Также обозначим середину отрезка AB как М, а середину отрезка О1О2 как N.

Так как О1Мп || AB, то треугольник О1АМ равнобедренный, значит, О1М = AM = R. Аналогично получаем, что О2М = MB = 2R.

Так как треугольник О1О2М – равносторонний, то О1О2 = 2R и О1М = R.

Поделим треугольник О1НМ на два прямоугольных треугольника О1НА и О1MA. Тогда по теореме Пифагора получаем:

О1А = \sqrt{R^2 - R^2} = R

МА = \sqrt{R^2 - (\frac{R}{2})^2} = \frac{R\sqrt{3}}{2}

Так как треугольник MNВ – равносторонний, то МN = NB = R\sqrt{3}.

Площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, равна площади сегмента круга O1О2 с вычетом площади треугольника О1НА и добавлением площади треугольника О1NA:

S = πR^2/6 - 1/2 R R + 1/2 R (R\sqrt{3}/2) = πR^2/6 - R^2/2 + R^2\sqrt{3}/4.