Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах r=cos(3f) r=sin(f)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площадей фигур, ограниченных этими линиями, нужно найти точки пересечения графиков уравнений r=cos(3θ) и r=sin(θ), а затем интегрировать их с помощью формулы для площади в полярных координатах.

Найдем точки пересечения графиков уравнений r=cos(3θ) и r=sin(θ):

cos(3θ) = sin(θ)
cos(3θ) - sin(θ) = 0
cos(3θ) - cos(π/2 - θ) = 0
cos(3θ) - sin(π/2 - θ) = 0
cos(3θ) - cos(π/2 + θ) = 0
3θ = π/2 + θ
2θ = π/2

θ = π/4

Таким образом, точка пересечения графиков находится при θ = π/4.

Теперь вычислим площади фигур, ограниченных этими линиями с помощью интегралов в полярных координатах:

Площадь первой фигуры, ограниченной графиками кривых r=cos(3θ) и r=sin(θ), равна:
S1 = 1/2 ∫[0,π/4] (cos(3θ)^2 - sin(θ)^2) dθ

Площадь второй фигуры, ограниченной графиками кривых r=cos(3θ) и r=sin(θ), равна:
S2 = 1/2 ∫[π/4,π/2] (sin(θ)^2 - cos(3θ)^2) dθ

Вычислив эти интегралы, можно найти площади обеих фигур.