5 стрелков поразили цель с вероятностью 0,8 4 стрелка поразили ее с вероятностью 0,7 и 3 стрелка поражают её с вероятностью 0,6. Случайно выбранный стрелок выстрелил и промахнулся. Найдите вероятность того, что он был из первой группы стрелков (где 5 чел.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим событие $A$ - стрелок из первой группы промахнулся, $B$ - стрелок из первой группы. Тогда нам нужно найти вероятность $P(B|A)$.

По формуле условной вероятности:
$$ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} $$

$P(A|B)$ - вероятность промахнуться стрелку из первой группы, равна $1-0.8 = 0.2$

$P(B)$ - вероятность выбрать стрелка из первой группы, равна $\frac{5}{5+4+3} = \frac{5}{12}$

$P(A)$ - полная вероятность промахнуться, это сумма вероятностей промахнуться стрелкам из всех групп:
$$ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) = 0.2 \cdot \frac{5}{12} + (1-0.7) \cdot \frac{4}{12} + (1-0.6) \cdot \frac{3}{12} $$

Теперь можем вычислить искомую вероятность:
$$ P(B|A) = \frac{0.2 \cdot \frac{5}{12}}{0.2 \cdot \frac{5}{12} + 0.3 \cdot \frac{4}{12} + 0.4 \cdot \frac{3}{12}} $$