Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Площадь меньшего круга равна 3п см^2. Найдите площадь треугольника. (вместе с решением)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус меньшей окружности равен r, а радиус большей окружности равен R. Так как меньшая окружность вписана в треугольник, то каждая из сторон треугольника является касательной к меньшей окружности. Поэтому сторона треугольника, проходящая через центр, является диаметром меньшей окружности, то есть длина этой стороны равна 2r.

Аналогично, так как большая окружность описывает треугольник, то каждая из сторон треугольника является касательной к большей окружности. Следовательно, сторона треугольника, не проходящая через центр, делит большую окружность пополам, то есть длина этой стороны треугольника равна 2R.

Так как треугольник является равносторонним, то стороны треугольника равны между собой. Поэтому 2r = 2R, откуда r = R.

Площадь меньшей окружности равна 3π см^2, то есть πr^2 = 3π. Отсюда r^2 = 3, r = √3

Согласно теореме Пифагора, сторона равностороннего треугольника равна a = 2r = 2√3

Теперь найдем площадь треугольника. По формуле для площади равностороннего треугольника S = (a^2√3)/4, получаем S = (12√3)/4 = 3√3 см^2.

Итак, площадь равностороннего треугольника равна 3√3 см^2.