Перпендикулярность прямых и плоскостей К плоскости треугольника со сторонами 8см, 15см, 17см из вершины его среднего угла проведен перпендикуляр длиной 6см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до противоположной стороны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам понадобится использовать теорему о косинусах для треугольника.

Обозначим расстояние от точек перпендикуляра до противоположной стороны как x.

Полу периметр треугольника: (p = \frac{8 + 15 + 17}{2} = 20)

Из формулы для площади треугольника через стороны и радиус вписанной в треугольник окружности: (S = rp) где (S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}), (r = \frac{S}{p})

Рассчитываем площадь треугольника:
(S = \sqrt{20(20 - 8)(20 - 15)(20 - 17)} = \sqrt{20 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{3600} = 60)

Радиус вписанной окружности:
(r = \frac{60}{20} = 3)

Площадь треугольника через ее высоту: (S = \frac{ah}{2}), где а - основание треугольника, h - высота

Расстояние от одной из вершин треугольника до высоты (отрезок, по которому проходит перпендикуляр): (h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17})

Соответственно, отрезок от точки перпендикуляра до противоположной стороны: (h - 6 = \frac{120}{17} - 6 = \frac{120 - 102}{17} = \frac{18}{17})

Ответ: расстояние от концов перпендикуляра до противоположной стороны равно (\frac{18}{17}) см.