Рассмотрим пирамиду, образованную тетраэдром и вершиной сферы. Так как радиус сферы R, а высота пирамиды равна радиусу сферы, то прямоугольный треугольник, образуемый высотой и половиной диагонали основания пирамиды, будет прямоугольным.
Пусть d - длина диагонали основания пирамиды. Тогда, по теореме Пифагора:
d^2 = a^2 + 4R^2.
Сфера описанная вокруг тетраэдра касается его всех рёбер. Поэтому диагональ основания равна длине ребра тетраэдра. Подставляем d = a:
a^2 = a^2 + 4R^2.
Отсюда следует, что 4R^2 = 0, то есть R = 0. Это невозможно, так как радиус сферы не может равняться нулю.
Таким образом, при правильном тетраэдре, описанном вокруг сферы с радиусом R, длина ребра равна 2R.
Пусть a - длина ребра тетраэдра.
Рассмотрим пирамиду, образованную тетраэдром и вершиной сферы. Так как радиус сферы R, а высота пирамиды равна радиусу сферы, то прямоугольный треугольник, образуемый высотой и половиной диагонали основания пирамиды, будет прямоугольным.
Пусть d - длина диагонали основания пирамиды. Тогда, по теореме Пифагора:
d^2 = a^2 + 4R^2.
Сфера описанная вокруг тетраэдра касается его всех рёбер. Поэтому диагональ основания равна длине ребра тетраэдра. Подставляем d = a:
a^2 = a^2 + 4R^2.
Отсюда следует, что 4R^2 = 0, то есть R = 0. Это невозможно, так как радиус сферы не может равняться нулю.
Таким образом, при правильном тетраэдре, описанном вокруг сферы с радиусом R, длина ребра равна 2R.