Уравнение с параметром. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 2sinx +cosx =a на отрезке [π/4; 3π/4] имеет единственное решение.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно преобразовать следующим образом:

2sinx + cosx = a

cosx = a - 2sinx

cos^2 x = (a - 2sinx)^2

1 - sin^2 x = a^2 - 4asinx + 4sin^2 x

5sin^2 x - 4asinx + (a^2 - 1) = 0

Теперь рассмотрим квадратное уравнение относительно sinx:

D = (4a)^2 - 45(a^2 - 1) = 16a^2 - 20a^2 + 20 = -4a^2 + 20

Дискриминант D должен быть неотрицательным:
-4a^2 + 20 >= 0
a^2 <= 5
-√5 ≤ a ≤ √5

Таким образом, все значения параметра a, при которых уравнение 2sinx + cosx = a на отрезке [π/4; 3π/4] имеет единственное решение, лежат в интервале [-√5; √5].