Уравнение с параметром. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 2sinx +cosx =a на отрезке [π/4; 3π/4] имеет единственное решение.
Дискриминант D должен быть неотрицательным -4a^2 + 20 >= a^2 <= -√5 ≤ a ≤ √5
Таким образом, все значения параметра a, при которых уравнение 2sinx + cosx = a на отрезке [π/4; 3π/4] имеет единственное решение, лежат в интервале [-√5; √5].
Данное уравнение можно преобразовать следующим образом:
2sinx + cosx = a
cosx = a - 2sinx
cos^2 x = (a - 2sinx)^2
1 - sin^2 x = a^2 - 4asinx + 4sin^2 x
5sin^2 x - 4asinx + (a^2 - 1) = 0
Теперь рассмотрим квадратное уравнение относительно sinx:
D = (4a)^2 - 45(a^2 - 1) = 16a^2 - 20a^2 + 20 = -4a^2 + 20
Дискриминант D должен быть неотрицательным
-4a^2 + 20 >=
a^2 <=
-√5 ≤ a ≤ √5
Таким образом, все значения параметра a, при которых уравнение 2sinx + cosx = a на отрезке [π/4; 3π/4] имеет единственное решение, лежат в интервале [-√5; √5].